Faktoradik

Faktoradik adalah sebuah sistem bilangan yang setiap posisi angka memiliki basis sesuai dengan faktorial dari posisinya. Sistem bilangan ini memungkinkan untuk membangkitkan permutasi dalam urutan leksikografik.

Faktoradik memiliki bentuk deretan bilangan an...a4a3a2a1a0, dengan setiap bilangan ai bersifat:

a_i in mathbb{N}

dan

0 leq a_i leq i

Nilai faktoradik

Nilai sebuah faktoradik an...a4a3a2a1a0 dapat dengan mudah didapat menggunakan formula:

sum_{i=0}^n a_i.i!

Sebagai contoh, bilangan 2,1,1,1,0

Posisi setiap bilangan, sama seperti pada sistem bilangan posisional lainnya, dinomori mulai dari 0 dari sebelah kanan.

Bilangan ke543210
Bilangan021110
Faktorial120246211

Sehingga nilainya adalah sebesar: 2×4! + 1×3! + 1×2! + 1×1! + 0×0! = 57

Di bawah ini adalah daftar 24 faktoradik pertama beserta nilainya:

FaktoradikNilaiFaktoradikNilaiFaktoradikNilaiFaktoradikNilai
0, 0, 0, 001, 0, 0, 062, 0, 0, 0123, 0, 0, 018
0, 0, 1, 011, 0, 1, 072, 0, 1, 0133, 0, 1, 019
0, 1, 0, 021, 1, 0, 082, 1, 0, 0143, 1, 0, 020
0, 1, 1, 031, 1, 1, 092, 1, 1, 0153, 1, 1, 021
0, 2, 0, 041, 2, 0, 0102, 2, 0, 0163, 2, 0, 022
0, 2, 1, 051, 2, 1, 0112, 2, 1, 0173, 2, 1, 023

Mendapatkan Faktoradik dari Sembarang Bilangan

Suatu faktoradik bisa diperoleh dari sembarang bilangan n dengan algoritma sebagai berikut:

  1. Cari i ! terbesar di mana i ! < n
  2. Bagi n dengan i !, akan didapatkan hasil bagi d dan sisa bagi m.
  3. d adalah digit faktoradik ke-i, yaitu a_i
  4. Ulangi dari langkah kedua, dengan m(sisa bagi) menggantikan n, dan i - 1 menggantikan i.
  5. Algoritma selesai jika i sudah mencapai 0.

Ketika berakhir, algoritma ini akan menghasilkan deretan faktoradik an...a4a3a2a1a0.

Permutasi

Bilangan Inversi

Membentuk Permutasi berdasarkan Faktoradik

Pertama-tama kita harus membuat kesepakatan mengenai indeks. Indeks untuk untai dimulai dengan indeks 0 dari kiri.

Untaiabcdefg
Indeks0123456

Disediakan sebuah untai s, dan sebuah faktoradik f, maka algoritma untuk menghasilkan sebuah permutasi dari s adalah:

  1. Sediakan satu tempat, yaitu s' untuk menampung untai hasil permutasi
  2. Mulai dari digit f paling kiri (digit dengan indeks posisi paling besar):
    • Ambil huruf dari s di posisi f_i, pindahkan ke s'
  3. Ulangi hingga tidak ada lagi huruf pada untai s

Ketika algoritma ini selesai, s' akan merupakan permutasi dari s yang sesuai dengan f

Sebagai contoh, untuk menghasilkan permutasi dari abcdefg, dengan indeks faktoradik 5341200 dengan algoritma tersebut, diberikan:

s = mathbf{abcdefg}

dan

f = (5, 3, 4, 1, 2, 0, 0)

Disediakan s' = epsilon (masih kosong).

Untaiabcdefg
Indeks0123456

Pertama, mulai dari f_6, yaitu 5. Kemudian pindahkan huruf ke-5 (indeks 5) pada untai s ke untai s', yaitu huruf f. Kondisi s dan s' sekarang menjadi s = mathbf{abcdeg} dan s' = mathbf{f}

Dengan s sekarang menjadi:

Untaiabcdeg
Indeks012345

Bilangan kedua dari f, yaitu f_5 adalah 3, maka pindahkan huruf ke-3 pada untai s ke untai s'. Maka kondisinya menjadi s = mathbf{abceg} dan s' = mathbf{fd}

Untaiabceg
Indeks01246

Dan seterusnya, yang jika dituliskan sekaligus adalah seperti ini:

if_iss'
65abcdegf
53abcegfd
44abcefdg
31acefdgb
22acfdgbe
10cfdgbea
00 fdgbeac

Kode-kode program

Kode program untuk membangkitkan faktoradik

Pascal

FMax := CariFaktorialTerbesar(Bilangan);
Sisa := Bilangan;
for i := FMax downto 0 do
begin
f := Faktorial(i);
A[i] := Sisa div f;
Sisa := Sisa mod f;
end;

Kode untuk membangkitkan permutasi dari faktoradik

Pascal

function Permutasi(Untai: STRING; Faktoradik: array of INTEGER): STRING; var Hasil: STRING; i, Indeks: INTEGER; begin Hasil:=; for i:=Low(Faktoradik) to High(Faktoradik) do begin Indeks:=Faktoradik[i] + 1; // Indeks ditambah 1 karena indeks array berawal dari 0 Hasil:=Hasil + Untai[ Indeks ]; Delete(Untai, Indeks, 1); end; Permutasi:=Hasil; end;

Lihat pula

Pranala luar

Using Permutations in .NET for Improved Systems Security


Sumber :
wiki.pahlawan.web.id, id.wikipedia.org, perpustakaan.web.id, dsb.