Oktonion | Wiki eduNitas, Kumpulan Ensiklopedi Khusus

Oktonion adalah sebuah barisan 8 bilangan riil dan merupakan salah satu dari 4 bilangan aljabar pembagian bernorma dengan bilangan riil, bersama dengan bilangan riil, bilangan kompleks dan kuaternion. Sifat-sifat aritmetis oktonion diterapkan dalam bidang-bidang seperti teori dawai, relativitas khusus dan logika kuantum.

Oktonion ditemukan oleh John Thomas Graves pada tahun 1843, karena inspirasi penemuan kuaternion oleh temannya William Rowan Hamilton.

Daftar isi

1 Definisi

Definisi

Setiap oktonion terdiri dari kombinasi linear riil unit oktonion:

${1, i, j, k, l, il, jl, kl} ,$

dan suatu oktonion dituliskan dengan persamaan berikut:

$x = x_0 + x_1i + x_2j + x_3k + x_4l + x_5il + x_6jl + x_7kl ,$

dengan koefisien riil ${x_i}$ .

Sama halnya dengan kuaternion, pertambahan dan pengurangan oktonion dilakukan dengan menambahi dan mengurangi setiap unit serupa. Sementara perkalian dilakukan dengan mengalikan setiap unit oktonion pertama dengan setiap unit oktonion kedua, dan lalu menjumlahi hasil perkalian. Berikut tabel perkalian unit-unit oktonion:

$\times$	$1$	$i$	$j$	$k$	$l$	$il$	$jl$	$kl$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$	$l$	$il$	$jl$	$kl$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$	$il$	$-l$	$-kl$	$jl$
$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$	$jl$	$kl$	$-l$	$-il$
$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$	$kl$	$-jl$	$il$	$-l$
$l$	$l$	$-il$	$-jl$	$-kl$	$-1$	$i$	$j$	$k$
$il$	$il$	$l$	$-kl$	$jl$	$-i$	$-1$	$-k$	$j$
$jl$	$jl$	$kl$	$l$	$-il$	$-j$	$k$	$-1$	$-i$
$kl$	$kl$	$-jl$	$il$	$l$	$-k$	$-j$	$i$	$-1$

Pertambahan

$egin{align}& x + y & = (x_0+x_1i+x_2j+x_3k+x_4l+x_5il+x_6jl+x_7kl) + (y_0+y_1i+y_2j+y_3k+y_4l+y_5il+y_6jl+y_7kl) & = (x_0+y_0)+(x_1+y_1)i+(x_2+y_2)j+(x_3+y_3)k+(x_4+y_4)l+(x_5+y_5)il+(x_6+y_6)jl+(x_7+y_7)klend{align}$

Pengurangan

$egin{align}& x - y & = (x_0+x_1i+x_2j+x_3k+x_4l+x_5il+x_6jl+x_7kl) - (y_0+y_1i+y_2j+y_3k+y_4l+y_5il+y_6jl+y_7kl) & = (x_0-y_0)+(x_1-y_1)i+(x_2-y_2)j+(x_3-y_3)k+(x_4-y_4)l+(x_5-y_5)il+(x_6-y_6)jl+(x_7-y_7)klend{align}$

Perkalian

$egin{align}& x imes y = & (x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4-x_5y_5-x_6y_6-x_7y_7)+& (x_0y_1+x_1y_0+x_2y_3-x_3y_2+x_4y_5-x_5y_4-x_6y_7-x_7y_6)i+& (x_0y_2-x_1y_3+y_0x_2+x_3y_1+x_4y_6+x_5y_7-x_6y_4-x_7y_5)j+& (x_0y_3+x_1y_2-x_2y_1+x_3y_0+x_4y_7-x_5y_6+x_6y_5-x_7y_4)k+& (x_0y_4-x_1y_5-x_2y_6-x_3y_7+x_4y_0+x_5y_1+x_6y_2+x_7y_3)l+& (x_0y_5+x_1y_4-x_2y_7+x_3y_6-x_4y_1+x_5y_0-x_6y_3+x_7y_2)il+& (x_0y_6+x_1y_7+x_2y_4-x_3y_5-x_4y_2+x_5y_3+x_6y_0-x_7y_1)jl+& (x_0y_7-x_1y_6+x_2y_5+x_3y_4-x_4y_3-x_5y_2+x_6y_1+x_7y_0)klend{align}$

Sistem Bilangan

Himpunan terhitung	Bilangan asli ( $scriptstylemathbb{N}$ ) Bilangan bulat ( $scriptstylemathbb{Z}$ ) Bilangan rasional ( $scriptstylemathbb{Q}$ ) Bilangan aljabar ( $scriptstyleoverline{mathbb{Q}}$ ) Perioda Bilangan terkomputasi Bilangan aritmetis

Bilangan riil dan cabangan	Bilangan riil ( $scriptstylemathbb{R}$ ) Bilangan kompleks ( $scriptstylemathbb{C}$ ) Kuaternion ( $scriptstylemathbb{H}$ ) Oktonion ( $scriptstylemathbb{O}$ ) Sedenion ( $scriptstylemathbb{S}$ ) Aljabar Cayley–Dickson Bilangan rangkap Bilangan kompleks hiperbolik Bilangan hiperkompleks Bilangan superreal Bilangan irasional Bilangan transenden Bilangan hyperreal Bilangan surreal

Other systems	Bilangan kardinal Bilangan ordinal Bilangan p-adik Bilangan supernatural

Sumber :
wiki.ptkpt.net, id.wikipedia.org, ensiklopedia.web.id, dsb.