Himpunan terbuka

Contoh: Titik-titik (x, y) yang memenuhi x² + y² = r² berwarna biru. Titik-titik (x, y) yang memenuhi x² + y² < r² berwarna merah. Titik-titik merah membentuk himpunan terbuka. Gabungan titik merah dan biru adalah himpunan tertutup.

Konsep himpunan terbuka sangatlah mendasar bagi banyak cabang matematika, terkhusus topologi umum dan ruang metrik. Secara intuitif, himpunan U dikatakan terbuka jika suatu titik x di U dapat dipindahkan dengan "cara" apapun dan masih tetap berada di U. Gagasan himpunan terbuka memberikan cara yang paling mendasar untuk membahas kedekatan titik-titik di dalam ruang topologi, tanpa mendefinisikan konsep jarak. Konsep yang menggunakan gagasan kedekatan, seperti kontinuitas fungsi, dapat diterjemahkan ke dalam bahasa himpunan terbuka.

Di dalam topologi himpunan-titik, himpunan terbuka digunakan untuk membedakan titik-titik dan himpunan bagian suatu ruang. Derajat keterpisahan dua titik sembarang diatur oleh aksioma pemisahan. Kumpulan semua himpunan terbuka di suatu ruang mendefinisikan topologi ruang. Fungsi dari satu ruang topologi ke ruang topologi lainnya yang mengawetkan topologi adalah fungsi kontinu. Meskipun himpunan terbuka dan topologi yang mereka cakup adalah yang terpenting di dalam topologi himpunan-titik, mereka juga digunakan sebagai alat pengorganisasian di cabang-cabang penting matematika lainnya. Contoh topologi adalah topologi Zariski di dalam geometri aljabar yang mencerminkan sifat aljabar dari varietas, dan topologi pada suatu lipatan diferensial di dalam topologi diferensial di mana tiap-tiap titik di dalam ruang adalah berada di dalam himpunan terbuka yang bersifat homeomorfik terhadap bola terbuka di dalam ruang euklides berdimensi berhingga.

Motivasi

Definisi

Ruang euklides

Ruang metrik

Ruang topologi

Sifat

Penggunaan

Catatan dan peringatan

"Terbuka" bukanlah definisi mutlak

"Terbuka" bukanlah kebalikan dari "tertutup"

Lihat pula

• Himpunan tertutup
• Himpunan terbuka-tertutup
• Lingkungan

Pranala luar

• Templat:Planetmath reference