Analisis riil

Analisis riil merupakan cabang dari analisis matematika yang membahas himpunan bilangan riil dan fungsi-fungsi dalam bilangan riil. Analisis riil dapat dianggap sebagai kalkulus yang lebih mendalam, dan juga pembahasan secara lebih mendalam mengenai konsep barisan dan limit, kekontinuan, turunan, integral, dan barisan dari fungsi-fungsi.

Penjelasan analisis riil pada buku-buku pelajaran tingkat lanjut biasanya dimulai dengan pembuktian sederhana mengenai teori dasar himpunan, pendefinisian konsep-konsep fungsi yang jelas, dan pengenalan kepada bilangan-bilangan asli dan pentingnya teknik pembuktian menggunakan induksi matematika.

Lalu dilanjutkan dengan pengenalan bilangan riil baik secara aksioma, ataupun melalui pembentukan dengan barisan Cauchy, ataupun potongan Dedekind (Dedekind Cut) pada bilangan rasional. Hasil yang mendasar kemudian dapat diperoleh, yang terpenting adalah sifat-sifat dari nilai mutlak seperti pertidaksamaan segitiga dan pertidaksamaan Bernoulli.

Konsep kekonvergenan, sebagai dasar analisis, diperkenalkan melalui limit dan barisan. Beberapa hukum yang mengatur proses pelimitan dapat diturunkan, dan beberapa limit dapat dihitung. Deret tak hingga, yang merupakan barisan yang khusus, juga dipelajari. Deret pangkat digunakan untuk mendefinisikan dengan jelas beberapa fungsi yang penting, seperti fungsi eksponensial dan fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa tipe penting dari subhimpunan bilangan riil, seperi himpunan-himpunan terbuka, himpunan-himpunan tertutup, himpunan-himpunan kompak, dan sifat-sifatnya dijelaskan kemudian.

Konsep mengenai kekontinuan kemudian dapat dijelaskan menggunakan limit. Hasil jumlah, kali, komposisi, dan bagi dari fungsi-fungsi yang kontinu adalah fungsi yang kontinu juga, dan teorema nilai tengah yang penting juga terbukti. Ide mengenai turunan mungkin dapat diperkenalkan sebagai suatu proses pelimitan tertentu, dan hukum-hukum turunan yang umum dari kalkulus dapat dijelaskan dengan lebih terperinci. Teorema yang penting disini adalah teorema nilai tengah.

Kemudian, integrasi (Riemann dan Lebesgue) dan pembuktian teorema dasar kalkulus dapat dilakukan, dengan menggunakan teorema nilai tengah.

Pada pencapaian ini, adalah sangat berguna untuk mempelajari ide dari kekontinuan dan kekonvergenan dengan lebih abstrak, agar kemudian dapat memperhitungkan ruang dari fungsi-fungsi. Ini dapat dilakukan dalam topologi himpunan titik dan menggunakan ruang metrik. Konsep-konsep seperti kekompakan, kelengkapan, ketersambungan, kekontinuan yang seragam, keterpisahan, peta Lipschitz, peta kontraktif, dapat didefinisikan dan diperiksa.

Limit-limit dari fungsi-fungsi dapat diambil untuk mengubah orde dari integral, turunan, dan limit. Ide dari kekonvergenan yang seragam sangat penting dalam hal ini. Adalah sangat berguna untuk memiliki pengetahuan yang mendasar mengenai ruang-ruang vektor yang normal dan ruang hasil kali dalam. Barisan Taylor dapat juga dijelaskan di sini.