Penerimaan Mahasiswa Baru Kelas Malam, Kelas Online, Kelas Karyawan

Cari di Buku Belajar Berbahasa Indonesia   
Indeks Artikel: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +.- Daftar isi | Manual book
Artikel sebelumnya  (Integral Garis)(Integrator)  Artikel berikutnya

Integral

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah int,

Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Daftar isi

Mencari nilai integral

Substitusi

Contoh soal:
Cari nilai dari:int frac{ln x}{x},dx,
t = ln x, dt = frac{dx}{x}
int frac{ln x}{x},dx, = int t,dt
= frac {1}{2} t^2 + C
= frac {1}{2} ln^2x + C

Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:
int f(x)g(x),dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
Contoh soal:
Cari nilai dari: int ln x ,dx,
f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = frac{1}{x},
Gunakan rumus di atas
int ln x dx = x ln x - int xfrac{1}{x},dx,
= x ln x - int 1,dx,
= x ln x - x + C,

Substitusi trigonometri

BentukGunakan
sqrt{a^2-b^2x^2},x = frac{a}{b}sin alpha,
sqrt{a^2+b^2x^2}, !, x = frac{a}{b}an alpha,
sqrt{b^2x^2-a^2},, x = frac{a}{b}sec alpha,
Contoh soal:
Cari nilai dari: int frac{dx}{x^2sqrt{x^2+4}},
x = 2 an A, dx = 2 sec^2 A,dA,
int frac{dx}{x^2sqrt{x^2+4}},
= int frac {2 sec^2 A,dA}{(2 tan A)^2sqrt{4 + (2 tan A)^2}},
= int frac {2 sec^2 A,dA}{4 tan^2Asqrt{4 + 4 tan^2A}},
= int frac {2 sec^2 A,dA}{4 tan^2Asqrt{4(1+tan^2A)}},
= int frac {2 sec^2 A,dA}{4 tan^2Asqrt{4 sec^2A}},
= int frac {2 sec^2 A,dA}{4 tan^2A.2sec A},
= int frac {sec A,dA}{4 tan^2A},
= frac {1}{4}int frac {secA,dA}{tan^2A},
= frac {1}{4}int frac{cos A}{sin^2A},dA,
Cari nilai dari: int frac{cos A}{sin^2A},dA, dengan menggunakan substitusi
t = sin A, dt = cos A,dA,
int frac{cos A}{sin^2A},dA,
= int frac{dt}{t^2},
= int t^{-2},dt,
= -t^{-1} + C= -frac{1}{sin A} + C,
Masukkan nilai tersebut:
= frac {1}{4}int frac{cos A}{sin^2A},dA,
= frac {1}{4}.-frac{1}{sin A} + C,
= -frac {1}{4 sin A} + C,
Nilai sin A adalah frac{x}{sqrt{x^2+4}}
= -frac {1}{4 sin A} + C,
= -frac {sqrt{x^2+4}}{4x} + C,

Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:
Cari nilai dari: intfrac{dx}{x^2-4},
frac{1}{x^2-4} = frac{A}{x+2} + frac{B}{x-2},
= frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4},
= frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4},
=frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4},
Akan diperoleh dua persamaan yaitu A+B = 0, dan A-B = -frac{1}{2}
Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil A = -frac{1}{4}, B = frac{1}{4},
intfrac{dx}{x^2-4},
= frac{1}{4} int (frac{1}{x-2} - frac {1}{x+2}),dx,
= frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C,
= frac{1}{4} ln|frac{x-2}{x+2}| + C,

Rumus integrasi dasar

Umum

Bilangan natural

int e^u du= e^u + C,

Logaritma

int log_b(x) ,dx = x log_b(x) - frac{x}{ln(b)} + C = x log_b left(frac{x}{e}ight) + C

Trigonometri

intsin x,dx = -cos x + C,
intcos x,dx = sin x + C,
intan x,dx = ln |sec x| + C,
intcot x,dx = ln |sin x| + C,
intsec x,dx = ln |sec x + an x| + C,
intcsc x,dx = ln |csc x - cot x| + C,
intsec^2 x,dx = an x + C,
intcsc^2 x,dx = - cot x + C,
intsec xan x,dx = sec x + C,
intcsc xcot x,dx = -csc x + C,

Lihat pula

Pranala Luar

  • (Indonesia) Operator Integrasi Berulang


Sumber :
wiki.ptkpt.net, id.wikipedia.org, ensiklopedia.web.id, dsb.